특이한 복소수의 표준형 표현
우리는 일반적으로 복소수를, \(a,b \in \mathbb{R}:z=a+bi \ (i=\sqrt{-1})\)의 표준형으로 표현한다.
그러나 모든 복소수가 처음부터 이러한 꼴을 가지고 있을까? 다르게 생긴 복소수는 존재하지 않을까?
고등학교에서 수 체계는 자연수 → 정수 → 유리수 → 무리수 → 실수 → 복소수로 확장해 나간다.
주제와 벗어나지만 좀 더 살펴보자면,
1. 자연수 → 정수 [덧셈에 대한 항등원인 0의 도입, 덧셈에 대한 역원인 음의 정수의 도입]
2. 정수 → 유리수 [정수의 비율로서 정의, 비의 개념]
3. 유리수 → 무리수 [유리수가 아닌 값들의 체계]
4. 무리수 → 실수 [실제 존재하는 모든 수의 체계]
5. 실수 → 복소수 [실제로 존재하지 않는, 그러나 편의성을 위한 수의 체계]
로 확장해 설명하는 것이 고등학교까지의 교육 과정이다.
여기서 질문, 두 실수 \(a,b\)의 값으로 하나의 복소수 \(z\)값이 결정된다는 점인데, 그럼 \(\sqrt{\left(1+i\right)}, \log(i)\) 같은 값들은 복소수가 아니란 말인가?
복소수가 아니라면, 대체 이 수들은 무엇인가?
정답을 말하자면, 복소수가 맞고, 우리가 아는 복소수의 표준형 \(z=a+bi\)꼴로 표현 가능하다!
그 비밀은 바로 복소평면 이다. 복소평면에 대한 지식은 복소평면을 사용해 복소수를 지수함수로 표현하는 방법 을 참고하도록 해라.
위의 결과를 그대로 가져오면, 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} z &= a+bi \\ r &= \sqrt{a^2+b^2} \\ a &= r\cos\theta \\ b &= r\sin\theta \end{aligned} \]
따라서 아래의 식이 성립한다.
\[ \begin{aligned} z &= a+bi \\ &= r\cos\theta + \left(r\sin\theta\right)i = r\left[\cos\theta+i\sin\theta\right] \\ &= re^{i\theta} \end{aligned} \]
여기까지 도달했다면, 조금만 더 생각을 확장하면 된다.
위의 두 예시로 임의의 복소수를 표준형으로 표현하는 방법을 설명하겠다. —
\(\sqrt{\left(1+i\right)}\)
우리는 복소평면에서 \(1+i = \sqrt{2}\exp{\left[i\left(\frac{\pi}{4}+2n\pi\right)\right]}\) 임을 알 수 있다. (단, \(n\in\mathbb{Z}\))
따라서 \(\sqrt{1+i}=2^{\frac{1}{4}}\exp{\left[i\left(\frac{\pi}{8}+n\pi\right)\right]}\) 임을 알 수 있다.
여기서 문제, google에 \(\sqrt{1+i}\)를 검색하면 sqrt(1 + i) = 1.09868411 + 0.455089861 i
라는 값이 나온다. 생각해 보면 이건 하나의 값이 아닌가?
분명 위의 논증에서 \(\sqrt{1+i}\)가 정수 \(n\)값에 따라 수많은 값이 나옴을 알 수 있는데, 모순이 아닌가?
의문에 대한 정답을 밝히자면 여러 값이 나오는 것이 원래 맞고, google의 결과는 principal value이다.
즉 하나의 값을 특정하기 위해, \(n=0\)을 대입한 값이다.
실제로 확인해보면, \(\sqrt{1+i}\)의 principal value는 \[
2^{\frac{1}{4}}\exp(\frac{i\pi}{8}) = 2^{\frac{1}{4}}\left[\cos\frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8} \right]
\]
임을 알 수 있다. 따라서 principal value의 관점에서, \(\sqrt{1+i} = 2^{\frac{1}{4}}\cos\frac{\pi}{8}+\left(2^{\frac{1}{4}}\sin\frac{\pi}{8}\right)i\) 로 표현할 수 있다.
마찬가지로 구글에 검색해보면, \[ \begin{aligned} 2^(1/4) \cos(\pi/8) &= 1.09868411347 \\ 2^(1/4) \sin(\pi/8) &= 0.45508986056 \end{aligned} \]
가 나온다. 위의 결과 google에 \(\sqrt{1+i}\)를 검색하면 sqrt(1 + i) = 1.09868411 + 0.455089861 i 와 동일함을 알 수 있다. .
\(\log(i)\)
마찬가지의 방식으로, \(\log(i) = \log\left[\exp{i\left(\frac{\pi}{2} + 2n\pi\right)}\right] = i\left(\frac{\pi}{2}+2n\pi\right)\) 이다.
사실 이게 더 간단하다.
principal value를 구해보면, 간단히 \(\frac{\pi}{2}i\)임을 알 수 있다.
구글의 결과 “ln(i) = 1.57079633 i” 와 일치한다!.
첨언하자면 자연로그는 대학에서 보통 \(\log\)로 표현한다.